قام إقليدس باشتقاق هذه النظريات الخمس من عدد صغير من البديهيات البسيطة، حيث يتعامل مع الخصائص والعلاقات بين كل الأشياء، تالياً نذكر هذه النظريات الخمس: النظرية الأولى “يمكن رسم خط مستقيم من أي نقطة إلى نقطة أخرى”، تنص هذه الفرضية على أنه بين كل نقطتين يمر خط مستقيم واحد على الأقل، بالرغم من ذلك إقليدس لم يسلط الضوء على عدد الخطوط المستقيمة المارة بين هاتين النقطتين مفترضاً وجود خط واحد مستقيم فقط.
النظرية الثانية “يمكن إنتاج الخط المنتهي في نهاية غير منتهية”، والخط المنتهي هو ما يطلق على (القطعة المستقيمة أو مقطع خط)، ويعني ذلك أنه يمكن رسم قطعة مستقيمة في أي اتجاه وبشكل غير منتهي.
النظرية الثالثة “يمكن رسم دائرة بأي مركز وأي نصف قطر”، يُقصد بذلك أنه بإمكاننا رسم عدد لا نهائي من الدوائر بمراكز مختلفة وأشعة مختلفة، حيث أن طول قطر الدائرة هو طول مقطع الخط.
النظرية الرابعة “جميع الزوايا القائمة متساوية مع بعضها البعض”، ويُقصد بذلك أن الزوايا القائمة بغض النظر عن طول جوانبها أو اتجاهاتها، فهي دائماً متساوية مع بعضها البعض.
النظرية الخامسة “نظرية التوازي: إذا تقاطع خط مستقيم مع خطين مستقيمين آخرين مُنشئاً زوايا على الجهة نفسها مجموعها أقل من مجموع زاويتين قائمتين، فإنّ هذين الخطين المستقيمين يلتقيان في الجهة التي تكون فيهما مجموع الزاويتين أقل من زاوية قائمة